Аннотация. Цель работы - найти правила, обеспечивающие доказательство гипотезы Гольдбаха, точнее, доказательство его бинарной проблемы. Поскольку бинарная проблема Гольдбаха гласит, что любое чётное число, начиная с числа 4, можно выразить суммой двух простых чисел, т. е. чётное число (c≥4) выразить суммой простых нечётных чисел (a) и (b): c=a+b, то очевидно есть число, которое можно выразить разностью этих же чисел: c_1=a-b при a>b. Тогда есть и некоторое число (C), являющееся произведением суммы этих простых чисел и разности этих простых чисел: C=c∙c_1=a^2-b^2, т. е. разностью квадратов нечётных чисел. Следовательно, чётное число Гольдбаха - множитель в этой разности квадратов, а не простая математическая случайность, но строгая закономерность, не имеющая ограничений в числовом поле.
Вводная часть. Рассмотрим "посыл" [1], принятый за основу "Полного доказательства гипотезы Била", который выглядит следующим образом: любое чётное число, имеющее множителем число 8, можно выразить разностью квадратов двух нечётных чисел. То есть это чётное число можно представить произведением суммы и разности этих нечётных чисел. Сумма и разность в этом случае числа чётные, но одно из них имеет множителем одно число 2, а другое - минимум число 4. То есть предполагая, что сумма двух нечётных чисел имеет множителем число 4, надо иметь ввиду, что разность этих же чисел будет иметь чётный множитель только число 2. Или же наоборот: если сумма двух нечётных чисел имеет множитель только одно число 2, то разность этих же чисел имеет множитель минимум число 4, а точнее 2^((n-1)), при C^n, при n≥3. Рассмотрим это на примере пифагоровых троек (3, 4, 5) и (5, 12, 13) для наглядности.
4^2=5^2-3^2=(5+3)(5-3)=8∙2.
〖12〗^2=〖13〗^2-5^2=(13+5)(13-5)=18∙8=(2∙9)∙8.
Итак, имеется чётное число (c) с чётным множителем ≥4 равное сумме двух нечётных чисел. В данном случае это числа a и b.
c=a+b. (1)
Пусть это будет первый множитель некоторого числа (C). Второй множитель этого числа - разность этих же нечётных чисел. И этот множитель (c_1) содержит только одно число 2.
c_1=a-b. (2)
Имеются два множителя c и c_1. Перемножим уравнение (1) и уравнение (2).
C=c∙c_1=(a+b)(a-b)=a^2-b^2. (3)
Результат - некоторое чётное число (C), являющееся произведением суммы и разности двух нечётных чисел. Следовательно, это число имеет множитель число 8. Нами принято число с=a+b имеющим чётный множитель минимум число 4, а число c_1=a-b один множитель 2. Заметим, однако, что значения множителей в этом случае могут быть противоположными. Главный результат перемножения суммы и разности этих нечётных чисел тот, что их произведение имеет множитель ≥8 при том, что один из множителей имеет в своём составе только одно чётное число 2.
Из уравнения (3) видно, что сумма и разность двух нечётных чисел имеют следующие значения:
c=a+b=4∙c_2; (4) c_1=a-b=2∙c_(3.) (5)
Рассмотрим это на следующем примере. Примем число 12 "гольдбаховой" суммой простых чисел 7 и 5.
a+b=7+5=3∙4=12. (6)
Тогда разность этих чисел будет такой.
a-b=7-5=2. (7)
Перемножим уравнения (6) и (7).
C=a^2-b^2=(a+b)(a-b)=7^2-5^2=24. (8)
Итак, "гольдбаховая" сумма простых чисел, число 12, всего лишь множитель числа 24, имеющего упомянутый уже важный множитель число 8.
Произведём обратное действие с выделением простых нечётных чисел, составляющих сумму "гольдбахового" числа. Упростим задачу, взяв для примера число C = 24. Прежде всего это число нужно разложить на множители, выделив первым множитель с одним числом 2. Примем этим множителем значение уравнения (7), т. е число 2. Тогда второй множитель - значение уравнения (6), т. е. число 12. Отсюда имеем:
(a+b)=12=3∙4; (9) (a-b)=2∙1. (10)
Сложим левые и правые части уравнений (9) и (10).
2∙a=12+2; a=(12+2)/2=7; (11)
Вычтем из правой и левой частей уравнения (9) правую и левую часть уравнения (10).
2∙b=12-2; b=(12-2)/2=5. (12)
В результате имеем два простых числа, составляющие "гольдбаховую" сумму, т. е. число 12, и соответствующую ей разность, число 2, вместе образующие в разности квадратов число 24. (См. уравнение (8).) При этом, как видно из примера, первое простое число является половиной суммы полученных разложением множителей, а второе - половиной разности этих же множителей.
Выделим нечётные числа, поменяв разложение на множители числа 24, где имеем: 24=3∙8=(2∙3)∙4.
Тогда сумма и разность нечётных чисел будут выглядеть так:
(a+b)=2∙3; (13) (a-b)=4. (14)
Поскольку первый нечётный множитель равен половине суммы множителей, а второй половине разности множителей, то имеем:
2∙a=2∙3+4; a=3+2=5. (15)
2∙b=2∙3-4; b=3-2=1. (16)
Выведем уравнение аналогичное уравнению (8) со значениями ур. (15) и (16).
C=c∙c_1=(a^2-b^2 )=(5+1)(5-1)=(5^2-1^2 )=24.
Из уравнений (11) и (12), а также из уравнений (15) и (16), несмотря на "непростоту" числа 1, следует, что выделение нечётных чисел типа a и b числа С зависит от возможности выделить из него определённое количество пар чётных множителей, один с множителем 2 и один с множителем ≥4. Рассмотрим это детальнее на разложении числа 27000, принятого произведением трёх чисел в кубе для упрощения расчётов.
〖30〗^3=27000=2^3∙3^3∙5^3. (17)
Первый вариант разложения этого числа на множители для выделения простых чисел a и b таков:
Итак, числа a = 277 и b=223 первого варианта разложения, а также числа a =179 и b = 71 второго варианта - числа простые. Очевидно, что разложение на множители чётного числа, имеющего множитель число 8, как разность квадратов двух нечётных чисел и выделение из них простых чисел, как сумму одного из множителей разности квадратов, есть строгая математическая закономерность, а не простая случайность.
Поскольку разложение чётного числа на множители разностью квадратов подразумевает наличие у него множителя 2^3, произведём выделение нечётных чисел из числа 〖12〗^3, прежде выделив множители, соответствующие чётным сумме и разности нечётных чисел.
Разложим число 〖12〗^3 на множители: сумму и разность нечётных чисел.
(a+b)=2∙3^3=54; (a-b)=2^5=32.
2∙a=2∙3^3+2^5; a=3^3+2^4=43. (19)
2∙b=2∙3^3-2^5; b=3^3-2^4=11. (20)
Уравнения (19) и (20) выражают нечётные числа разности квадратов числа 〖12〗^3, и они простые. (Примечательно, что число 2^6 уравнения (18) при выделении этих чисел теряет множитель 2^2. См.: (18), (19), (20).) [2]
Представим уравнение (18) в отвлечённом, общем, виде.
При этом нужно заметить, что числа 〖〖(2〗^3∙с〗_2^3) и с_3^3 , степенные множители числа С^3, взаимно простые. То есть будет рассмотрен вариант чисел C,c,c_1 в целых степенях.
Выделим множители разности квадратов.
(a+b)=2∙c_3^3; (a-b)=2^2∙c_(2.)^3
Нечётные числа равны половине суммы и половине разности множителей разности квадратов. Отсюда имеем:
a=c_3^3+2∙c_2^3. (22) b=c_3^3-2∙c_2^3. (23)
Примем уравнение (22) как вариант суммы n - х степеней, а уравнение (23) как вариант разности n - х степеней. Разложим на множители уравнение (22).
Из уравнений (24) и (25) следует, что нечётные числа (a) и (b), нельзя разложить на целые множители, следовательно они являются простыми числами. Примем подтверждением разложение на множители уравнения (19), представляющего число a как сумму кубов.
Числовое подтверждение простоты нечётных чисел, составляющих разность их квадратов, доказывает правильность применения метода к доказательству гипотезы.
Из уравнений (31) и (32) следует, что числа (а) и (в) нельзя разложить на целочисленные множители, исключая те, что состоят из двух простых чисел. Остальные являются простыми.
Итак, показано: чётное число ≥ 4 можно представить суммой двух нечётных чисел, и что это число есть множитель некоторого числа (C), второй множитель которого - разность этих же нечётных чисел. Число (C), тем самым, является разностью квадратов двух нечётных чисел, что не имеет ограничений в числовом поле и для его множителей, которые выражаются суммой и разностью простых чисел, что следует из доказательства. Это значит, что предела для выражения чётного числа суммой простых чисел нет. Следовательно, бинарная проблема Гольдбаха решена.
Литература.
Ведерников С. И. Полное доказательство гипотезы Била. - Журнал: Проблемы современной науки и образования. 2025. No 8 (207). Стр. 6.
Ведерников С. И. Разность квадратов нечётных чисел и гипотеза Била. - Журнал: Интернаука. 2023. No33 (303). Часть 1. Стр. 25.