Сплавы с памятью формы (СПФ) способны накапливать или возвращать значительные неупругие деформации при различных термосиловых воздействиях и, благодаря такому необычному деформационному поведению, находят широкое применение в различных отраслях техники и медицины.
Распределения деформаций, температур и объемной доли мартенсита в теле взаимосвязаны и в каждый момент времени определяются не только краевыми условиями, но и всей историей их изменения. Вариации температуры и напряжения вызывают изменение неупругой деформации и структурно-фазового состояния, что, в свою очередь, влечет за собой изменение температуры и напряжения. Таким образом, более адекватное описание механического поведения тел из СПФ можно получить, если задачу решать в полностью связной постановке, а свойства материала описывать с помощью микроструктурной модели, которая учитывает его строение и основные физические закономерности развития фазовой и пластической деформации.
Свойства СПФ сильно зависят от температуры, поэтому решение задачи механики о нахождении напряжений и деформаций в общем случае необходимо проводить совместно с решением задачи теплопроводности. Систему уравнений замыкают определяющие уравнения, позволяющие рассчитать изменения неупругой деформации, мощности источников тепла и внутренних параметров:
,
,
,
,
,
,
,
где ? - тензор напряжений; F - вектор объемных сил; n - единичная внешняя нормаль к поверхности тела
; Sf и Su - части поверхности S, на которых заданы соответственно векторы усилия f0 и перемещения u0; C - тензор упругих модулей, e - тензор неупругой деформации, который складывается из деформации теплового расширения (eTe), фазовой деформации (e?) и микропластической деформации (eMP); ? и ?e - тензоры полной и упругой деформации; T - температура; с - удельная теплоемкость; ? - коэффициент теплопроводности; ? - плотность; W - удельная мощность источников тепла внутри тела; H - коэффициент теплообмена со средой; Tamb - температура окружающей среды; x - координаты точки тела; q0 - удельная скрытая теплота превращения; ?M - объемная доля мартенсита; X - внутренние параметры; N - количество вариантов мартенсита; NGr - количество зерен; ?i(?) - количество мартенсита i-го варианта в зерне ?; F1, F2 - функции, определенные микроструктурной моделью; точкой обозначена производная по времени.
Таким образом, сформулирована полностью связная термомеханическая задача, т.к. в уравнении равновесия неупругая деформация зависит от температуры, а в уравнении теплопроводности мощность источников тепла зависит от напряжений, возникающих в теле.
Задача решается численно с использованием итерационной процедуры. Для этого она разделяется на три подзадачи. Первая - задача механики - нахождение напряжений и деформаций в предположении, что неупругие деформации известны. Вторая - определение поля температур при известном источнике тепла. Третья - нахождение неупругих деформаций и тепловыделения при известных напряжениях и изменении температуры. Решение проводится по шагам, на каждом из которых задаются приращения внешних воздействий и времени. Рассчитываются изменения температур и напряжений, затем находятся изменение неупругих деформаций и тепловыделение. Производится пересчет температур и напряжений с учетом новых данных. Итерации повторяются, пока не выполнено условие окончания итерационного процесса, означающее, что конечные значения изменений температуры, напряжения, неупругих деформаций и тепловыделения найдены с заданной точностью. Сходимость итерационной процедуры сильно зависит от значения итерационного параметра. В настоящей работе предложена итерационная процедура с переменным итерационным параметром, который подбирается на каждом шаге из соображений минимизации невязки. Это позволило добиться сходимости во всех рассмотренных задачах, в том числе при высоких скоростях охлаждения и нагрева и больших размерах тела. В задаче используется предположение об изотропном отклике материала на внешнее воздействие, поэтому было проведено дополнительное исследование, при каком количестве зерен моделируемый материал можно считать изотропным. Оказалось, что необходимо брать не менее 100 зерен или использовать процедуру "изотропизации" определяющих соотношений.
В расчетах в качестве модельного рассматривали материал со следующими характеристиками, типичными для никелида титана: характеристические температуры Af = 365 K, As = 350 K, Ms = 315 K, Mf = 300 K; модуль Юнга E = 78 ГПа; коэффициент Пуассона ? = 0.33; коэффициент теплопроводности ? = 10 Вт " (м " К)-1;удельная теплота превращения q0 = -150 МДж " м-3; плотность ? = 6.5"103 кг " м-3; удельная теплоемкость c = 4.7"102 Дж " кг-1 " К-1; коэффициенты теплового расширения аустенита и мартенсита ?А = 14"10-6 К-1, ?М = 6"10-6 К-1; коэффициент теплообмена со средой H = 104 Вт " м-2 " К-1. Точность расчета деформации 10-8, тепловыделения - 103 Дж/м3с
Вначале рассмотрим бесконечный круговой цилиндр из СПФ радиуса b, образующие боковой поверхности которого параллельны оси oz, подверженный действию внешней осевой силы Fz. На боковой поверхности цилиндра действует равномерно распределенное давление p и выполняется условие Ньютона теплообмена со средой. Поток тепла при r = 0 задается равным нулю. В начальный момент времени температура тела совпадает с температурой окружающей среды. Определяющие уравнения среды задаются микроструктурной моделью, описанной ранее. Нагрузка осесимметрична и не зависит от координаты z; кроме того, для бесконечного цилиндра можно считать, что перемещение uz линейно зависит от z. Поэтому предполагаем, что поле перемещений имеет вид:
.
Тогда компоненты тензора деформаций не зависят от координат ? и z:
В состоянии упругости только
отличны от нуля и зависят только от координаты r. Если, неупругие свойства материала изотропны, то отличными от нуля будут те же компоненты тензора неупругой деформации, причем, они не будут зависеть от координат ? и z. Следовательно, и при наличии неупругих деформаций ненулевыми и зависящими только от радиуса будут только диагональные компоненты напряжения
.
Задача механики решается в перемещениях. Общее решение имеет вид:
,
,
.
Для ограниченности перемещений и напряжений в точке r = 0 необходимо взять c2 = -B(0). Константы c1 и
находятся из граничных условий
и
. Таким образом, найдены перемещения и напряжения при известных неупругих деформациях.
При численном моделировании все механические и тепловые поля задавали таблично в виде их значений в равноотстоящих узлах. Для решения задачи о нахождении поля температур при известном источнике тепла применяли метод сеток с неявной схемой.
Для исследования влияния размеров тела на величину эффекта пластичности превращения (ЭПП) рассматривали цилиндры из СПФ с радиусами 1, 10, 50, 100 мм, моделировали охлаждение через интервал прямого мартенситного превращения от 350 К до 290 К под постоянной силой, соответствующей начальному напряжению 100 МПа. При этом задавали изменение температуры окружающей среды со скоростью 0.01 К/с и выдержку при 290 К до выравнивания температуры по радиусу.
Расчеты показали, что, уменьшая скорость охлаждения, разницу температур внутри и на поверхности цилиндра невозможно сделать сколь угодно малой. Так, при скорости охлаждения 0.01 К/с для цилиндра радиусом 10 мм она составляет 0.3 К, но для цилиндров с радиусами 50 и 100 мм достигает уже 6.4 К и 18.5 К соответственно (рис. 1).
Неоднородность температур вызывает неоднородность полей напряжений и фазового состава (рис. 2). До начала прямого мартенситного превращения в наружных слоях происходит небольшое увеличение осевого напряжения, связанное со стеснением температурных деформаций. Напряжение смещает температуры фазового перехода и мартенсит начинает появляться уже при температуре 338 К. После начала превращения в приповерхностных слоях наблюдается спад напряжений (кривая 336 К на рис. 2 (б)). Одновременно с этим во внутренних областях напряжение растет. По мере остывания цилиндра прямое мартенситное превращение испытывают объемы, находящиеся все дальше от поверхности, соответственно продвигается внутрь цилиндра область релаксации напряжений (кривая 310 К на рис. 2 (б)). После окончания превращения в приповерхностных слоях напряжение в них снова возрастает (кривые 300 К и 290 К на рис. 2 (б)).
|
(а) |
(б) |
|
|
|
|
Рис. 2. Радиальные распределения объемной доли мартенсита ? (а) и осевого напряжения ?z (б) для цилиндра с радиусом 100 мм при разных температурах окружающей среды. Скорость изменения температуры окружающей среды - 0.01 К/с |
|
Видно, что в цилиндрах с большими радиусами даже при малой скорости охлаждения напряжения сильно неоднородны по радиусу, существуют области перенапряжения.
Во втором параграфе рассматривается задача о нахождении напряжений и деформаций в бесконечной пластине из СПФ толщиной h, на которую действуют внешние силы fx, fy, fxy и моменты Mxx, Myy, Mxy, отнесенные к единице длины. Верхняя и нижняя поверхности пластины подвержены действию равномерно распределенного давления p. Пластина охлаждается с поверхности. Напряжения в теле обусловлены внешней силой, температурными, фазовыми и микропластическими неупругими деформациями. Неупругие свойства материала изотропны. Напряжения и деформации зависят только от координаты z.
Постановка краевой задачи для нахождения напряжений и деформаций в этом случае выглядит следующим образом:
,
,
,
,
,
,
Из уравнений совместности Сен-Венана следует, что деформации ?yy, ?xx, ?xy являются линейными функциями координаты z:
где A, B, C, D, G, F - константы, которые находятся из интегральных граничных условий. Компоненты тензора напряжений определяются из закона Гука.
В частном случае, когда пластина растягивается только вдоль оси 0x, fx ? 0, fy = fxy = Mxx = Mxy = Myy = Mxy = p = 0, компоненты тензора деформаций имеют вид:
,
,
,
Моделировали охлаждение пластины из СПФ толщиной 20 мм через интервал прямого мартенситного превращения под постоянной продольной силой, соответствующей начальному напряжению ?xx = 100 МПа. Задавали изменение температуры окружающей среды от 350 К до 290 К с различными скоростями: 0.01, 0.1, 0.25, 0.5, 1, 2, 5, 10 и 100 К/с, и выдержку при 290 К до выравнивания температуры по толщине пластины.
Результаты расчетов показали, что так же, как и для цилиндра, наблюдается неоднородное распределение температур по толщине пластины, что приводит к неоднородному распределению фазового состава и напряжений. С увеличением скорости охлаждения наблюдается уменьшение величины эффекта пластичности превращения (рис. 7).
|
|
|
Рис. 7. Зависимость величины эффекта пластичности превращения ?xxПП от скорости изменения температуры окружающей среды |
В третьем параграфе рассматривается муфта из материала с памятью формы, представляющая собой бесконечный полый круговой цилиндр, образующие которого параллельны оси 0z. Для удобства используются цилиндрические координаты r, ?, z. На внешней и внутренней поверхностях муфты задаются не зависящие от координаты z радиальное перемещение или давление. Решение задачи нахождения деформаций и напряжений в предположении, что известны неупругие деформации, для муфты проводится так же, как для сплошного цилиндра. Отличие состоит в постановке граничных условий на внутренней поверхности.
Численный эксперимент имитировал реальный процесс подготовки и сборки термомеханического соединения (ТМС). Рассматривали две соединительных муфты, тонкостенную и толстостенную с внутренним диаметром 20 мм и толщиной стенок 2 и 10 мм. Внутренний диаметр трубы, на которую производили посадку муфт, 19 мм, внешний - 20.6 мм. Константы материала трубы: модуль Юнга ET = 100 ГПа, коэффициент Пуассона ?T = 0.33. В начальный момент времени температура муфты и окружающей среды равнялась 380 К. На первом этапе моделировали охлаждение муфты через интервал прямого мартенситного превращения. При этом задавали изменение температуры окружающей среды от 380 К до 290 К со скоростью 100 К/с и выдержку при 290 К до выравнивания температуры по толщине муфты. Затем в мартенситном состоянии моделировали дорнование муфты, для чего задавали увеличение ее внутреннего диаметра на 1.2 мм и производили разгрузку. Затем осуществляли нагрев муфты с посадкой на упругую трубу. При нагреве задавали изменение температуры окружающей среды от 290 К до 380 К со скоростью 100 К/с и выдержку при 380 К до выравнивания температуры по толщине муфты. На последнем этапе проводили охлаждение соединения, задавая изменение температуры окружающей среды от 380 К до Mf (300 К) со скоростью 100 К/с и выдержку при 300 К до выравнивания температуры по толщине
Распределения радиальных и окружных нормальных напряжений ?r, ?? при раздаче толстостенной муфты показаны на рис. 10. Кривые 1 соответствуют распределению напряжений по радиусу после охлаждения и выдержки при 290 К, кривые 2 - 4 нагружению. Видно, что для толстостенной муфты распределение нормальных радиальных напряжений нелинейное, а нормальное окружное напряжение сильно неоднородно по толщине муфты.
|
(а) |
(б) |
|
|
|
|
Рис. 10. Радиальные распределения напряжений ?r (а) и ?? (б) во время увеличения внутреннего диаметра толстостенной муфты при температуре 290 К и заданных перемещениях внутренней поверхности муфты (?Ua) |
|
Таким образом, показана возможность моделирования процессов подготовки и сборки термомеханического соединения при различных режимах нагрева, расчета изменения контактного давления на разных этапах сборки и аварийного снижения рабочей температуры, а также исследования распределения температуры, объемной доли мартенсита и напряжений по толщине муфты.
Выводы
-- Возможно получение приближенного (в смысле минимизации невязки) с заданной точностью решения связной термомеханической задачи для тела из сплава с памятью формы с использованием микроструктурной модели для описания свойств материала.
-- В условиях ньютоновского конвективного теплообмена даже при малой скорости изменения температуры окружающей среды наблюдается неоднородное распределение температур, а, следовательно, объемной доли мартенсита, напряжений и деформаций по сечению образца. В связи с этим величина эффекта пластичности превращения уменьшается с увеличением размеров тела, т.е. имеет место масштабный эффект, который начинает проявляться, когда максимальная разница температур внутри и на поверхности тела достигает некоторого порогового значения.
-- В процессе и по окончании реализации эффекта пластичности превращения пространственная неоднородность температуры и фазового состава приводит к формированию областей, в которых уровень напряжений более чем в два раза может превышать их среднее значение.
-- На этапе подготовки термомеханического соединения в процессе увеличения внутреннего диаметра толстостенной муфты распределение нормальных радиальных напряжений практически сразу становится нелинейным, а нормальных окружных напряжений - сильно неоднородным по толщине муфты.
-- В процессе сборки ТМС на этапе нагрева происходит генерация напряжений, контактное давление возрастает. При последующем охлаждении соединения контактное давление резко снижается и в виду неоднородности полей напряжений устанавливается на небольшом конечном значении.
Перелiк посилань
-- Волков А.Е., Кухарева А.С. Расчет температурных и механических полей в цилиндре и пластине из сплава с памятью формы. // Актуальные проблемы прочности: сб. тез. 45-й Международной конференции. - Белгород: Изд-во БелГу, 2006, с. 34 - 35.
-- Волков А.Е., Кухарева А.С. Расчет пластичности превращения в цилиндре из TiNi при охлаждении с конечной скоростью //IV Международная школа - конференция "Микромеханизмы пластичности, разрушения и сопутствующих явлений": сб. науч. тр. Молодых ученых. 24 - 30 июня 2007 г. Тамбов, Россия / Науч ред. В.А. Федоров; Федеральное агентство по образованию, Тамб. Гос. Ун-т им. Державина. Тамбов, 2007, с. 116 - 122.
-- Волков А.Е., Кухарева А.С. Расчет пластичности превращения в пластине из TiNi при охлаждении с конечной скоростью // XLVI Международная конференция "Актуальные проблемы прочности". 15 - 17 октября 2007 года, Витебск, Беларусь: материалы конференции. Ч. 1. / УО "ВГТУ". - Витебск: УО "ВГТУ" , 2007, с. 74.
-- Волков А.Е., Кухарева А.С. Моделирование термомеханических соединений труб тонкостенными и толстостенными муфтами из никелида титана // XLVII Международная конференция "Актуальные проблемы прочности", 1 - 5 июля 2008 г., Нижний Новгород: материалы конференции. Ч. 1. - Нижний Новгород, 2008, с. 54 - 56.
-- Волков А.Е., Кухарева А.С. Расчет напряженно-деформированного состояния в цилиндре из TiNi при охлаждении под нагрузкой и разгрузке. // Известия РАН. Серия физическая, 2008, том 72, N 9, с. 1337 - 1340.
-- Волков А.Е., Кухарева А.С. Расчет напряженно-деформированного состояния в бесконечном цилиндре из сплава с памятью формы при охлаждении и нагреве с различными скоростями // Механика композиционных материалов и конструкций. 2009. Т. 15, N 1, с. 19 - 27.
1
Рис. 1. Радиальные распределения температур в цилиндре радиусом 100 мм при изменении температуры окружающей среды от 350 К до 290 К со скоростью 0.01 К/с и выдержке при 290 К до выравнивания температуры по радиусу. Графики построены для некоторых последовательных моментов времени.
?
r
z
x
y
Tamb
fxy
fy
fy
fx
z
p
x
p
y
p
Fz
?
r
fx
z
x
y
--