Ранее для описания всех физических величин и явлений предлагались дробные производные (см. часть 1 этой книги, статью 10).

Основы производных были заложены Леонардом Эйлером в его работе "Дифференциальные исчисления", изданной в 1755 году. До него над этой проблемой успешно работали Ньютон и Лейбниц.

Эйлер для степенной функции xⁿ нашел уравнение исчисления дифференциалов любого порядка.

l - показатель производной,
n - показатель степени,
K - коэффициент.

На основании работ Эйлера, сведем биномиальные коэффициенты Ньютона в таблицу 1.

Таблица 1 приведена для всех физических величин природы как естественной так и искусственной. Для естественной природы характерны симметричные процессы и явления. Это значит, что порядок степени пространства не может превосходить порядок производной по времени, а их равенство даст постоянный коэффициент (с x⁰).

Таким образом, таблицы миров симметричной природы будут заполнены только в правом верхнем углу до диагонали, проходящей от верхнего левого до нижнего правого угла таблицы. Эта диагональ - ряд предельных физических величин (постоянных). Все остальные величины в таблицах, расположенные ниже диагонали, равны нулю, но если мы имеем дело не с симметричными величинами и явлениями, а с векторными, или эти величины синтезированы из других физических величин, то нулевые клеточки будут иметь свои значения, отличные от нуля.

Эти значения будут определяться соответствующими производными по формуле Эйлера с неопределенными коэффициентами K . Поэтому алгебраических (арифметических) действий с ними следует пока избегать. Со всеми же другими производными (те у которых nl) необходимые действия могут быть осуществлены, так как их коэффициенты K - определены.

Следует отметить, что коэффициенты K и их определение в части первой данной книги - не определены.

Для операций с дробными производными коэффициенты K определяются интерполяцией по таблице 1.

Приведенный здесь новый подход к вычислению дробных производных - не единственный. На протяжении всего времени исследования производных, математики успешно решали эту проблему. Другое дело, что в традиционных подходах наблюдается стереотип, сложившийся исторически. И все же, сейчас не излишне вспомнить эту историю. Тем более, что новый подход представлен в этой статье только на примере степенных функций. И еще пройдет время, пока он станет достаточно универсальным и разработанным.

Истоки нового подхода, изложенного в этой статье, относятся к работам Ньютона, Лейбница и Эйлера. Поэтому история дробных производных (по материалам, приведенным Самко С.Г. и др. "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их применения", Минск, издательство "Наука и техника", 1987) приведена не в начале статьи, а только сейчас, после раскрытия сущности нового подхода. Это сделано для того чтобы сохранить историческую преемственность в подходах. Рядом с известными подходами, новый - может показаться архаичным.

Определение дробным производным дал Ж. Лиувилль в 1832 году. Дифференцирование показательной функции f(x) он представил в виде ряда f(x)=c_ke^ax. Дифференцирование, по определению Ж. Лиувилля:

D^pf(x) = c_ka_k^pe^ax ,

где p - любое комплексное число, а суммирование производится по k от нуля до бесконечности. Отсюда Ж. Лиувилль вводит формулу дробного дифференцирования:

D^-pf(x) = [1/(-1)^pГ(p)] (x+t)t^p-tdt

где суммирование производится от нуля до бесконечности.

Известна формула Б. Римана:

f⁽ⁿ⁾(x) = lim(_hⁿf)(x) / hⁿ

где предел берется при h стремящемся к нулю.

Формула Коши:

f^(p)(z) = (P! / 2i) f(t)dt / (t-z)^p+1

где интегрирование производится по контуру, кривая которого охватывает точку z.

Работа Ж. Адамара (1892) - дробное дифференцирование аналитической функции через почленное дифференцирование ее ряда Тейлора:

D^a f(z) = [ Г(K+1) / Г(K+1-a)]c_K(z-z_o)^K-a ,

где c^K = f (K)(z_o) / K!, а суммирование производится по K от 0 до бесконечности.

Форма дробного дифференцирования А. Маршо (1927):

(D^af)(x) = c [(_t^lf)(x) / h^1+a]dt ,

где интегрирование от 0 до бесконечности.

В 1941 году Ж. Коссар вводит полезную модификацию дробного дифференцирования Лиувилля:

- [1/Г(1-a)] lim(d/dt) (t-x)^-a f(t)dt ,

где предел берется при N стремящемся к бесконечности, а интеграл берется от x до N.

На этом результаты, полученные в области дробных производных, не заканчиваются, но становится очевидным традиционное направление, по которому идет развитие в этой области. Не исключено, что предложенный мною новый подход позволит расширить взгляд на эту проблему и упростить вычисления.

Следует отметить, что наиболее просто операции дробного интегрирования и дифференцирования выполняются в обратном Лапласа (Фурье) пространстве, где они просто сводятся к умножению или делению функций на соответствующую дробную степень параметра преобразования.

По примеру таблицы 1 можно составить таблицу 2 для коэффициентов отрицательных производных.

Таблица 2 позволяет без особого труда определять отрицательные производные. Например,

Дробные отрицательные производные берутся все по той же формуле

с интерполяцией коэффициентов.

Особый интерес для физики могут иметь производные порядка числа "e" (основание натурального логарифма) и числа "". С учетом этого предлагается таблица 3.

l	x0	x1	x2	xe	x3	x	x4	x5
. 0	0	1	1	1	1	1	1	1
. 1	?	1	2	2,72	3	3,14	4	5
. 2	?	?	2	5,88	6	6,85	12	20
. e	?	?	?	?	6	8,05	20,6	48,8
. 3	?	?	?	?	6	8,55	24	60
.	?	?	?	?	?	8,55	24	68,5
. 4	?	?	?	?	?	?	24	120
. 5	?	?	?	?	?	?	?	120

Математики, несомненно, уточнят приведенные в таблице коэффициенты, если в этом возникнет необходимость.

Задача этой статьи - показать один из возможных принципов вычисления дробных и отрицательных производных от степенных функций и операций с ними при их использовании.

Приведенные таблицы биномиальных коэффициентов не всегда удобны при использовании. Поэтому целесообразно иметь формулу получения таких коэффициентов, а также полную формулу исчисления дифференциалов от степенной функции:

Исторически так сложилось, что физические величины совершенно разные количественно измеряются в одних и тех же единицах измерения. Например, в СИ любые расстояния и размеры измеряются в метрах (m), будь то межатомное расстояние или размеры Метагалактики. При этом не учитывается, что различные по величине расстояния и размеры имеют различную природу. Они не одинаковы и их природа изменяется в зависимости от их величины.

Такое недоразумение не имеет негативных последствий в арифметике, но в математическом анализе это приводит к значительным усложнениям. Эти усложнения, в свою очередь, делают невозможным изучение глубин природы из-за резко возрастающей сложности.

По физической природе каждую конкретную физическую величину следует измерять соответствующей ей единицей измерения, а в результате любого измерения будет получаться один и тот же результат, равный основанию натурального логарифма, то есть числу e, для мира в котором мы живем. В этом случае математический анализ может потерять свой смысл и превратиться если не в арифметику, то по крайней мере в алгебру. Абсолютным (единичным) измерением может считаться только - произведенное от последней сингулярности (от центра О - см. часть 2, статью 1 этой книги).

На основании изложенного составляем таблицу 4, в которой любые результаты измерения равны числу "e", а производные упраздняются.

При таком подходе отпадает необходимость в дробных и отрицательных производных. Хотя, ввиду традиций, сложившихся в метрологии, дробные и отрицательные производные могут некоторое время просуществовать.

На основании таблицы 4 можно представить формулу всех физических величин (ФВ):

n - порядок степени,
l - порядок производной,
x - масштаб измерения.

Приведенная формула по простоте не идет не в какое сравнение с формулами предложенными в 1 части этой книги. Действия с такими формулами и их применение также значительно упрощаются, но эти формулы так далеки от наших современных суеверных представлений и от нашего восприятия природы, что могут показаться совсем не информативными.

Переход на новый вид описания формул физических величин и явлений может потребовать переводчиков, как в случае с иностранными языками. Только значительные преимущества новой теории и нового вида записей позволят им занять свое место в нашей жизни.

^{Статья опубликована в книге "Изобретательское Творчество", ISBN: 5-94990-002-2 в 2003 году, в Казане, Из-во "Фолиантъ'.
Зарегистрировано в ВНТИЦ 19 апреля 2002 года под номером 72200200011.
Опубликовано в бюллетене ВНТИЦ "Идеи. Гипотезы. Решения" номер 2, 2002 год.}